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| 작성자 : 이정구 작성자ID : jk0620 조회 : 39 추천 : 1 |
작성일 : 2003-12-12
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홀수 완전수는 존재 하는가/ 조사한 바에 의하면 그 증후는 많다 |
홀수 완전수는 존재 하는가/ 조사한 바에 의하면 그 증후는 많다
홀수 완전수는 존재 하는가? 만약 홀수인 완전수가 존재한다면 그 수는 보다 커야만 하며 적어도 11개의 서로 다른 소인자를 가져야 한다고 한다. 조사한 바에 의하면 다른 요소들에서 그 증후는 많다. 짝수 완전수가 메르센 소수와의 필연적인 동일개수로 존재하는 것에 여러 의문이 생긴다. 홀수 완전수의 존재를 추적하는 것은 마치 물리적 성질이 일반물질과 동일하지만 전하와 자기적 성질이 정반대인 가상의 물질로 정의된 반물질(anti-matter)의 존재를 과학자들이 탐색하는 것과 같은 필요성이 있으리라. 더 나아가 다양한 완전수를 찾는 것은 새로운 종류의 소수의 존재에 대한 발견을 예고 함이다.
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http://apmath.kku.ac.kr/%7Eseokko/prime.html
6의 약수 중 5보다 작은 수 1, 2, 3을 모두 합치면 6이 된다. 또 28의 약수 중 28보다 작은 수 1, 2, 4, 7, 14를 더하면 28이 된다. 이처럼 자신보다 작은 약수를 모두 합쳤을 때 원래의 수가 되는 수를 완전수(perfect number)라고 한다.
기원전 그리스 시대에 이미 4개의 완전수(6, 28, 496, 8128)가 있다는 것이 알려졌지만, 그 수는 많지 않다. "2^p-1이 소수이면 2^(p-1)(2^p-1)은 완전수다"라는 것은 이미 유클리드의 '원론'에 증명돼 있다. 그런데 18세기 중엽에 오일러가 짝수인 완전수는 모두가 2^(p-1)(2^p-1)의 꼴로 나타내지며, 이때 (2^p-1)은 소수인 것을 증명했다. 따라서 짝수인 완전수의 개수와 메르센 소수의 개수는 같다.
여기에 2가지 미해결 문제가 있다. 하나는 과연 홀수인 완전수는 존재하는가 하는 문제고, 다른 하나는 메르센 소수는 무한히 많은가 하는 점이다. 1991년 3백자리 이하의 홀수 중에는 완전수가 없음이 밝혀졌지만, 아직도 홀수인 완전수가 없는지는 알 수 없다. 그리고 이제까지 발견된 메르센 소수의 개수는 완전수의 개수와 같다. 지금까지 발견된 것 중에 마지막 두 완전수(메르센 소수)는 $p$가 2976221과 3021377 인 경우인 데 이 둘 사이에 메르센 소수가 더 있는지는 밝혀지지 않았다.
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http://petit.new21.org/math/math12.htm
유클리드는 그의 원론 제 Ⅳ권에서, 만약에 2^n-1이 소수이면 2^(n-1)(2^n-1)은 완전수라는 사실을 기원전 350-300년경에 증명했다. 2천년 뒤에 오일러는 짝수인 모든 완전수는 이런 꼴임을 보였다. 따라서 메르센 소수와 완전수 사이의 밀접한 관계가 증명되었으며 이것은 현재 정확하게 30개의 짝수인 완전수가 알려지고 있다는 사실을 보여준다. 사실 홀수인 완전수는 알려진 것이 없으며 모든 완전수가 필연적으로 짝수일 것이라는 추측이 있다. 비록 증명되지는 않았지만 이 추측에 유리한 몇 가지 증거가 있다. 만약 홀수인 완전수가 존재한다면 그 수는 보다 커야만 하며 적어도 11개의 서로 다른 소인자를 가져야 한다. 한편 역사가 지침이 된다면 완전수에 대한 추측을 할 때 신중해야만 한다.
모든 (짝수인) 완전수는 삼각수이다. 이것은 정삼각형을 형성하도록 배열된 공의 개수로 이 수를 표현할 수 있음을 의미한다.(이 수는 적당한 수 n에 대해서 꼴이 된다.) 만약 6이외의 다른 완전수를 취해서 각 자리의 수를 더하면, 그 결과는 9의 배수보다 1만큼 큰 수가 된다는 또 다른 사실이 있다. 이것과 관련된 것으로 임의의 완전수의 자릿수 근(digital root)은 1이라는 사실이 있다. (어떤 수의 자릿수 근을 얻기 위해서는 그 수의 모든 자리의 숫자를 더한 다음에 그와 같이 얻어진 수의 모든 자리의 숫자를 다시 더한다. 이와 같이 진행해서 단 단위의 수가 될 때까지 계속한다.) 또 모든 완전수는 연속적인 홀수의 세제곱의 합이 된다. 보기를 들면 다음과 같다.
1^3+3^3=28 , 1^3+3^3+5^3+7^3=496
만약 n이 완전수이면, n의 모든 약수의 역수의 합은 항상 2라는 또 다른 사실이 있다. 보기를 들면 6은 1, 2, 3, 6 등의 약수를 가지는데 이것들의 역수의 합은 다음과 같다.
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#1.모든 (짝수인) 완전수는 삼각수이다. 이것은 정삼각형을 형성하도록 배열된 공의 개수로 이 수를 표현할 수 있음을 의미한다.
1.
완전수가 삼각수(삼각형 안에서 순위를 이루는 형식)이라는 것은
보기1.
1+2+3(2^2-1)=6,
1+2+3+(4)+5+6+7(2^3-1)=28,
1+2+3+4+5+6+7+...(16)...+30+31(2^5-1)=496
물론 2^20992011-1=660만 자리수의 메르센 최대 소수이라 한다. 여기서 오일러의 2^(n-)(2^n-1)의 사상 최대의 완전수는 1+중간수(m)+M(2^20992011-1)=m+M 이다.
이들을 보면 금방 알 수 있는 문제이다. 삼각형 안에 자연수의 연속성이 표현되기 때문이다. 여기서 삼각수의 공통점은 시작수를 1로 정했고 끝수는 소수인데, 바로 1(홀수)+소수(홀수)=짝수이다. 그리고 중간수가 대부분(거의) 짝수로 나타나고 있다. 좀더 유심히 관찰하면 삼각수의 끝수가 메르센 소수이 분명한 이상에 메르센 소수의 갯수와 완전수는 동일한 수효를 가진다는 점을 상식적으로 알게 된다. 메르센 소수가 없으면 완전수는 오일러의 2^(n-1)(2^n-1)의 완전수도 없게 될테니...
완전수는 [약수 1+어떤 비메르센 소수(홀수)]는 죽었다 깨어나도 짝수일테니, 결국 홀수 완전수가 존재 한다면 중간수(홀수)가 나타나야 한다. 과연 이런 일이 가능할까. 삼각수=1+2+3+4+5+...(중간수 홀수?)....+ 비메르센 혹은 메르센 소수(어제는 반드시 메르센일 것 같은 착오가 있었다).
그런데 보기1. 수열에서 보면 중간수는 매번 [짝수/2= 반드시 짝수]일까? 예를들어 10(짝수)/2=홀수.도 나오지 않는가 말이다. 고로 중간수는 반드시 짝수만 된다고 볼순 없다. 완전수는 홀수 완전수도 존재할 가능성은 분명히 있는 셈이다.
1(홀수)+2+3+4+...(중간수=1(홀수)+끝수인 어떤 소수(홀수)/2=홀수)...+M(홀수)=홀+홀+홀= 홀
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2.
#2.만약 홀수인 완전수가 존재한다면 그 수는 보다 커야만 하며 적어도 11개의 서로 다른 소인자를 가져야 한다. 한편 역사가 지침이 된다면 완전수에 대한 추측을 할 때 신중해야만 한다.
홀수 완전수가 존재할 가능성은 있다. 이미 밝혀진 DATA만을 검토하여 메르센 공식홀수 완전수를 판별하는 간단한 방법이 있어 보인다. 물론 삼각수의 연속수 끝을 소수로 볼 때에 한한다.
예를들면 소수의 단단위 홀수(1,3,5,7,9)에서 +1/2 이 홀수가 되기 위해서는 소수 10의 자리에서 이미 0 mod 2, 일때 단단위가 1,5,9 가 되어야 한다. 그래야 중간수의 단단위가 1+1 /2=1, 1+5 /2=3, 1+9 /2=5 와 같이 홀수가 될 가능성이 때문이다. 만약에 10의 자리가 1mod 2일 때는 단단위가 3,7 이여야 한다.
그리하여 메르센 소수 DATA를 조사해보니,
[가정1.]
메르센 소수 10의 자리에서 이미 0 mod 2, 일때 단단위가 1,5,9 (...짝홀+1 /2=1,3,5,mod2) 이여야 한다.
보기2.
2^7-1=127
2^19-1=524287
2^23912427-1= ;(23912427)
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[가정2.]
10의 자리가 1mod 2일 때는 단단위가 3,7 (...홀홀+1 /2=7,9; 0 mod2)이여야 한다.
보기3.
2^5-1=31
2^13-1=8191
2^17-1=131071
2^211213-1= ;(2112213)
2^12466917-1= ;(12466917)
2^20992011-1= ;(20992011)
그런데 위의 DATA에서 보면 보기2.에서는 (...짝홀) 이 이뤄졌으나 127과 5424287 단단위에 1,5,9 가 아니였고 보기3.에서는 (...홀홀)이 이뤄워졌으나 31;8191;131071은 단단위에 3,7 이 아니다.
그런데
2^211213-1= ;(2112213)
2^12466917-1= ;(12466917)
이들 숫자를 주목하기 바란다.
[2^소수-1=메르센 소수] 이듯 위의 괄호 안에 숫자는 분명히 소수일 것이다. 비록 비메르센 소수일찌라도 말이다.
그렇다면 홀수 완전수가 되기에 필요한 조건1.에 적용된다.
10의 자리가 1mod 2일 때는 단단위가 3,7 (...홀홀+1 /2=7,9; 0 mod2)이여야 한다.
1+2+3+...(2112213+1 /2=1056207)...+2112213
그러나 2112213은 메르센 소수가 아닐 것이고 일반 소수이기도 하며 홀수인데 완전수를 만들수 있을찌 모를 일이다.
그러나 예를들면 소수=37 은
1+2+3+...(37+1 /2=19)...+36+37 이다.
보기4.
01
02 03
04 05 06
07 08 09 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30 31 33 34 35 36 37
=703
삼각수 보기4.에서 (a+b)(b-a+1)/2=38*37/2=703
703=37*19. 약수는 1,19,37 ; 약수의 합은 1+19+37=57. 이처럼 홀수 완전수가 아니다.
물론 보기4.은 홀수 완전수의 출현에 실망을 주었다. 하지만 좀더 [가정1.2]는 여전히 기대감을 제공한다.
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1(홀)+중간수m(홀) +일반 소수(홀)= 완전수?(홀)
문제는 여기서의 '완전수?'. 이것이 진짜일 경우에 홀수 완전수가 비로소 존재하는 것이다.
우리는 여기서 몇가지 질문이 생긴다.
1.삼각수를 이용하여 메르센 소수의 갯수와는 별개의 완전수를 기대할순 없을까.
삼각수 도식을 이용하여 이미 발견된 일반 소수들을 끝수로 하는 완전수를 탐색할 필요가 있다.
만약에 일반소수들에서도 완전수를 찾게 된다면 결국 완전수에 대한 개념은 메르센 소수 (2^n-1)과 결부한 공식 탓일 수 있다. 그 만약의 기대는 검증해 봐야 알 일이다.
이러한 근거를 뒤받침하는 이유들이 있다.
첫째.삼각수의 관점에서 보면 메르센 소수=M 가 반드시 삼각수의 특징을 가쟈야 한다는 특이한 현상을 발견할 수 없다. 말인즉, 삼각수의 용도는 메르센 소수를 애써 의미를 부여 하지 않아도 찾는다면 비메르센 소수 내지는 불완전수에서도 더 넓은 응용범위가 있어 보인다. 그렇다면 그 완전수는 삼각수의 관점에서 보면 그저 몇개 안되는 특별한 부류의 배열일 뿐이다.
그리고 반드시 삼각수를 이루거나 끝수가 소수이여야 짝수 완전수를 2^(n-)(2^n-1)대로 모두 구해질 수 있는지도 의문이다. 혹시 다른 비소수가 이미 제시하지 않던 부분에서도 짝수 완전수가 존재하지 않을까.
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