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| 작성자 : 이정구 작성자ID : jk0620 조회 : 32 추천 : 0 |
작성일 : 2004-01-16
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수학문제의 7대 난제[ 포앵카레 추측=삼체문제]/러시아 수학자가 풀었다고 한다 |
러시아 수학자 그리고리 기샤 페렐만이 , 수학문제의 7대 난제[ 포앵카레 추측=삼체문제]를 풀었다고 한다. 태양계가 안정돼 있는지에 관한 뉴톤의 이체이론에서 삼체문제를 제시한 포앵카레의 추측이였다. 이 문제를 해결하기 위해 카오스이론이 등장 했다고도 한다. 그런데 알고보면 수천년을 이여온 고전적인 수학문제인 마방진이 다체문제에 관한 전체적인 알고리즘을 제시함이다.
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http://www3.yonhapnews.co.kr/cgi-bin/naver/getnews?092004010806300+20040108+1046
< 러시아 수학자, 7대 난제 `포앵카레 추측' 풀어 >
(샌프란시스코 AP=연합뉴스) 러시아 과학자가 세계에서 가장 오래되고 가장 심오한 수학문제중 하나로 3차원 공간에 관한 기하문제인 포앵카레 추측을 풀어낸 것으로 보인다. 러시아 과학자 그리고리 기샤 페렐만이 포앵카레 가설을 풀어냈다는 증거가 점점 높아지고 있는데 그가 문제 해결에 성공하면 세계에서 가장 어려운 7대 수학문제를 풀기 위해 설립된 미국 매사추세츠 소재 클레이 수학협회가 제시한 100만달러의 상금을 받게 된다.
포앵카레 추측은 프랑스 수학자 앙리 포앵카레에 의해 1904년 제기됐다. 동서남북과 상하로 이루져 있으며 비행기가 날아가는 3차원 공간을 이해하는데 큰 진전을 이룩한 포앵카레는 2차원적 계산으로 3차원 공간에 대한 유사한 문제를 풀 수 있을 것이라고 추측했으나 수학적으로 입증하지는 못했다. 이 문제를 해결하면 우주의 형체를 이해하는데 도움이 될 것이지만 일상생활에 는 별 도움이 없다는 것이다.
과거 여러 수학자들이 포앵카레 추측 해법을 제시했으나 검토결과 모두 실패한 것으로 드러났다. 2년전 영국 사우샘프턴 대학의 마틴 던우디 교수가 대학 웹사이트에 6페이지에 이르는 해법을 올려 센세이션을 불러일으켰으나 결국 실패작으로 판명됐다. 세계 과학자들은 페렐만의 해법에 허점이 없는지 검토하고 있는 단계인데 페렐만의 해법에 아직 결점이 발견되지 않고 있어 이문제가 풀렸을 것이라는 희망이 무너지지 않고 있다. 미국 프린스턴 대학의 앤드루 와일스 교수가 10년전 350년전 제기된 `퍼맷의 마지막 정리'를 풀어낸 이래 수학계가 이처럼 한 문제에 관심을 쏟은 적이 없다. 페렐만은 상트 페테르부르크 소재 스테클로프 러시아 수학 아카데미 연구원으로 미국에서 공부한뒤 러시아에서 외부와 거의 격리된채 연구에만 몰두해 왔다. 클레이 매사추세츠 수학협회는 문제 해결자가 결과를 과학 저널에 발표하고 2년에 걸친 검증에서 하자가 없어야 문제를 푼 것으로 인정한다고 규정하고 있다. 페렐만은 지난해 격리생활에서 벗어나 미국 여러 대학에서 수학 강의를 하고 있으나 자신의 연구결과를 잡지에 발표하는데는 관심이 없어보이며 상금 수상에 대해서고 공개적으로 언급한 적이 없다. 그는 그대신 웹 사이트에 3편의 논문과 관련 자료를 게시했다. 페렐만의 해법을 검토하고 있는 세계의 뛰어난 과학자들은 곧 성패 여부가 결정날 것으로 자신하고 있다.
sungkyum@yna.co.kr
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http://cosmoscan.pe.kr/chaos/frame(chaos).htm
포앵카레(Poincare)의 삼체문제
1887년 스웨덴의 국왕 오스카 2세는 "태양계는 과연 안정된 상태인가" 라는 천문학의 오랜 궁금증을 해결하는 사람에게 2만 5천 크라운의 상금을 준다고 발표했다. 그것은 태양과 9개의 행성, 그리고 소행성과 수많은 위성들이 안정된 궤도를 계속 돌 것인가? 아니면 언젠가는 하나가 궤도를 이탈해 버릴 것인가? 를 묻는 문제였다.
프랑스의 수학자 포앵카레는 이 문제에 대하여 연구하는 가운데 태양계의 운동을 규정하는 뉴턴의 방정식이 문제가 있음을 발견했다. 그것은 이러한 것이다. 가령 지구의 공전궤도에 대하여 계산하기로 하자. 사실은 지구의 공전궤도는 태양 뿐 아니라 달이나 그 밖에 행성에 의하여 영향을 받는다. 하지만 뉴튼의 법칙을 적용하는데 태양과 지구만을 고려한다. 왜냐하면 고려하여야 할 대상이 세가지 이상이 될 경우에는 뉴턴 방정식으로 해결되지 않기 때문이다.
질량이 똑같은 세 개의 행성이 정삼각형의 세 꼭지점에 있다고 하자. 이들 세 천체에 작용하는 인력권은 정삼각형의 무게 중심에서 평형을 유지한다. 이 때 세 천체 사이를 연료가 떨어진 우주선이 지나가게 되면 어떤 궤도를 그릴까? 가장 가까운 행성으로 이끌려 갈 것으로 생각하는 것은 당연하다.
하지만 그렇지 않다. 그 이유는 이 세 개의 인력권이 그리는 도형이 우리가 생각한 것처럼 단순한 직선이 아니라 프랙탈적인 인력권이 형성되기 때문이다. 인력권의 어느 부분을 확대해 보아도 원래 모습과 닮은 구조가 계속되고 있음을 알게된다. 이 때문에 우주선의 궤도는 복잡하게 된다. 삼체문제가 이 정도로 복잡한데, 태양계의 문제는 본질적으로 다체문제이다. 따라서 행성이 만드는 인력권은 카오스적인 양상을 보인다.
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또다른 자료1.
http://pnarae.com/phil/category/sci/p26-4.htm 및 http://petro.hhu.ac.kr/class/project/2001/10/BACKGROUND.htm에 의하면
'초기 조건에의 민감한 의존성'이라는 이 개념은 이미 19세기말 프랑스의 유명한 과학자 푸앵카레 (Henri Poincaré) 에 의해서 선구적으로 논의 되었었다. 그는 가장 간단한 삼체 문제 (three-body problem)에서조차 초기 조건의 작은 차이가 장기적으로는 엄청난 차이를 나타내게 만든다는 것을 밝힘으로써 라플라스에 의해 주장된 태양계의 안정성에 근본적인 차원의 문제점을 제기했다.
삼체문제는 엄격한 해석적 방법으로 풀 수 없는 것으로 나타났다. 초기조건에의 민감한 의존성 즉 작은 변화가 결과적으로 엄청난 경우를 초래할수 있는 경우를 표현되는 것을 카오스 현상에서 이해할 수 있다고 한다. 기존의 선형적인 접근방식으로는 얻을수 없었던 자연계의 신비한 구조를 지닌 실체가 드러났다. 그곳은 카오스와 안정이 공존하는 세계,질서와 혼돈이 함께 생성되는 세계, 즉 부분적으로는 예측불가능 하지만 전체적으로는 일정적인 모델화가 가능한 세계이다. 그 갈림길이 바로 이체 문제 VS 삼체(다체)문제. 곧 (뉴턴)<--->(푸엥카레)의 분기로 보고 있다.
카오스(chaos)가 포앙카레의 삼체문제를 이해하고 다체문제에 대한 알고리즘을 갖게된 것은 뉴톤의 역학으로는 해결할 수없는 자연계의 혼돈상태가 존재하기 때문이다. 이 문제를 현대 수학자들이 모르는 바를 이해할 수 없으나, 좀더 숙고해 보면 근본적으로 다뤘던 고전적인 수학개념이 있었던 것이다. 바로 마방진(magic square)이다. 이는 전통적으로 동서고금을 막론하고 뜻있는 자들은 누구나 연구해온 수학의 문제이다. 수많은 개체들의 덩어리가 전체적으로 조화와 질서.균형의 대통일장이 형성돼 있음을 수학적으로 명백히 실증한다.
보기1.
01 02 15 16
13 14 03 04
12 07 10 05
08 11 06 09
보기1.은 고전적인 4차 마방진이다. 자연수 1 부터 16까지의 서로 다른 열여섯칸 안에 넣어서 전체적으로 'magic sum=34(가로.세로.주대각선의 합)' 을 구하는 문제이다. 열 여섯개의 개체가 존재하는 다체문제이며 '비뉴톤 역학'구조이다
보기1.과 같은 마방진의 숫자더미를 보노라면 부분적으로 무질서하고 혼란스럽고 초기조건에의 민감한 의존성 즉 작은 변화가 있어도 전체적으로 조화와 질서균형을 지닌 형태가 마방진의 구조의 특징이다. 보기1.의 임의 숫자에서 다음 순서가 어디로 가야할찌 임의 숫자 자신이 스스로 결정하고 예측할 방법이나 정해진바는 없어 보인다.
그러나 다행히도 보기1.과 같은 4차 마방진의 배열조건이 총 880가지가 존재한다는 전체적인 틀이 마련돼 있다. 물론 보기1.과 같은 천억 마방진도 존재한다.
보기2.
zxdxybzyz
zxdzxezxz
xxbyyxzzx
zybzzfxzy
cadccbcdc
cdbdcbdbb
xzezxdyyx
zxezybzyy
bddbcbdca
보기2.는 18방진을 구조체 해법으로 풀어서 절대값 zero sum을 이룬 모습의 9ss(soma structure)이다. 우선, 임의적인 선택의 9 ss는 무수히 만들어지고, 단지 보기1.에서만 2^42=4조3980억4651만1104개의 초순간적 수배열 變形群을 얻을 수 있다. 이는 미세 물질구조의 매카니즘에 적합하게 대응한 마방진의 時空間的 완벽한 변환유추 해석이며 균형조화의 극치이다.
우리가 여기서 놓쳐서는 안되는 중요한 의미는 다음과 같다.
부분적으로 아무리 불안정하고 불예측스러워도 전체적인 기본적인 모형이 존재한다면 그 부분적인 내부는 어디에 속한 카오스이며 랜덤이지는 밝혀질 것이다. 그것은 어떤 단서가 어는 시공간에 존재하는 부분인지를 알아낼 수 있는 기준을 전체적인 틀에서 얻을 수 있다는 뜻이기도 하다.
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